Quantum Mechanics By Professor John W. Norbury free download

Click here to Download this book from uploadingit.com its 100% free 4all

Click here to Download this book from 4shared.com its 100% free 4all 

Contents
1 WAVE FUNCTION 7
1.1 Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Mean, Average, Expectation Value . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Average of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Mean, Median, Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Standard Deviation and Uncertainty . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Postulates of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Conservation of Probability (Continuity Equation) . . . . . . 19
1.3.1 Conservation of Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Conservation of Probability . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Interpretation of the Wave Function . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Expectation Value in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . 24
1.6 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Commutation Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 DIFFERENTIAL EQUATIONS 35
2.1 Ordinary Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Second Order, Homogeneous, Linear, Ordinary Di®erential
Equations with Constant Coe±cients . . . . . . 36
2.1.2 Inhomogeneous Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Partial Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Properties of Separable Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 General Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Stationary States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 De¯nite Total Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
2 CONTENTS
2.3.4 Alternating Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.5 Nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.6 Complete Orthonormal Sets of Functions . . . . . . . 46
2.3.7 Time-dependent Coe±cients . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 INFINITE 1-DIMENSIONAL BOX 53
3.1 Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 POSTULATES OF QUANTUM MECHANICS 65
4.1 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Eigenvalue Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Postulate 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Expansion Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Measurement Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Reduction Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Summary of Postulates of Quantum Mechanics (Simple Version) 71
4.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I 1-DIMENSIONAL PROBLEMS 77
5 Bound States 79
5.1 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Finite 1-dimensional Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.1 Regions I and III With Real Wave Number . . . . . . 82
5.2.2 Region II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3 Matching Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.4 Energy Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.5 Strong and Weak Potentials . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Power Series Solution of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Use of Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
CONTENTS 3
5.5 Algebraic Solution for Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . 100
5.5.1 Further Algebraic Results for Harmonic Oscillator . . 108
6 SCATTERING STATES 113
6.1 Free Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.1 Group Velocity and Phase Velocity . . . . . . . . . . . 117
6.2 Transmission and Re°ection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1 Alternative Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Step Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.4 Finite Potential Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5 Quantum Description of a Colliding Particle . . . . . . . . . . 126
6.5.1 Expansion Coe±cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5.2 Time Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5.3 Moving Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5.4 Wave Packet Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7 FEW-BODY BOUND STATE PROBLEM 133
7.1 2-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.1 Classical 2-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.1.2 Quantum 2-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 3-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
II 3-DIMENSIONAL PROBLEMS 141
8 3-DIMENSIONAL SCHRÄODINGER EQUATION 143
8.1 Angular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.2 Radial Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3 Bessel's Di®erential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3.1 Hankel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 HYDROGEN-LIKE ATOMS 153
9.1 Laguerre Associated Di®erential Equation . . . . . . . . . . . 153
9.2 Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10 ANGULAR MOMENTUM 159
10.1 Orbital Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.1.1 Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2 Zeeman E®ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3 Algebraic Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4 CONTENTS
10.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.4.1 Spin 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.4.2 Spin-Orbit Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5 Addition of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5.1 Wave Functions for Singlet and Triplet Spin States . . 171
10.5.2 Clebsch-Gordon Coe±cients . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.6 Total Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.6.1 LS and jj Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11 SHELL MODELS 177
11.1 Atomic Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.1.1 Degenerate Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.1.2 Non-Degenerate Shell Model . . . . . . . . . . . . . . 178
11.1.3 Non-Degenerate Model with Surface E®ects . . . . . . 178
11.1.4 Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Hartree-Fock Self Consistent Field Method . . . . . . . . . . 180
11.3 Nuclear Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.3.1 Nuclear Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.4 Quark Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12 DIRAC NOTATION 183
12.1 Finite Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.1.1 Real Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.1.2 Complex Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.1.3 Matrix Representation of Vectors . . . . . . . . . . . . 188
12.1.4 One-Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.2 In¯nite Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.3 Operators and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.3.1 Matrix Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.3.2 Hermitian Conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.3.3 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.3.4 Expectation Values and Transition Amplitudes . . . . 197
12.4 Postulates of Quantum Mechanics (Fancy Version) . . . . . . 198
12.5 Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13 TIME-INDEPENDENT PERTURBATION THEORY, HYDROGEN
ATOM, POSITRONIUM, STRUCTURE OF HADRONS201
13.1 Non-degenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . 204
13.2 Degenerate Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . 208
CONTENTS 5
13.2.1 Two-fold Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.2.2 Another Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.2.3 Higher Order Degeneracies . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.3 Fine Structure of Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.3.1 1-Body Relativistic Correction . . . . . . . . . . . . . 212
13.3.2 Two-Body Relativistic Correction . . . . . . . . . . . 216
13.3.3 Spin-Orbit Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.4 Zeeman e®ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.5 Stark e®ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.6 Hyper¯ne splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.7 Lamb shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.8 Positronium and Muonium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.9 Quark Model of Hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
14 VARIATIONAL PRINCIPLE, HELIUM ATOM, MOLECULES223
14.1 Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.2 Helium Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.3 Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15 WKB APPROXIMATION, NUCLEAR ALPHA DECAY 225
15.1 Generalized Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
15.2 Finite Potential Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.3 Gamow's Theory of Alpha Decay . . . . . . . . . . . . . . . . 231
16 TIME-DEPENDENT PERTURBATION THEORY, LASERS235
16.1 Equivalent SchrÄodinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.2 Dyson Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.3 Constant Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.4 Harmonic Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.5 Photon Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.5.1 Radiation Bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.6 Photon Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.7 Selection Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.8 Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17 SCATTERING, NUCLEAR REACTIONS 251
17.1 Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
17.2 Scattering Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.2.1 Calculation of cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 CONTENTS
17.3 Phase Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.4 Integral Scattering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
17.4.1 Lippman-Schwinger Equation . . . . . . . . . . . . . . 259
17.4.2 Scattering Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17.4.3 Born Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
17.5 Nuclear Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18 SOLIDS AND QUANTUM STATISTICS 265
18.1 Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
18.2 Quantum Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
19 SUPERCONDUCTIVITY 267
20 ELEMENTARY PARTICLES 269
21 chapter 1 problems 271
21.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
21.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
21.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
22 chapter 2 problems 281
22.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
22.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
22.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
23 chapter 3 problems 287
23.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
23.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
23.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
24 chapter 4 problems 291
24.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
24.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
24.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293